数学函数产生的背景

（一）
?马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽．
?自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源．
（二）
?早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义．
?1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.
?当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
?18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延．
（三）
?函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
?后来,人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步．”
?在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式．1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是,任意一个以2π为周期函数,在〔－π,π〕区间内,可以由
?表示出,其中
?富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动．原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
?通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
?1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．
?1837年,德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是：“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数．”
?根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：
f（x）= 1?（x为有理数）,
0?（x为无理数）．
?在这个函数中,如果x由0逐渐增大地取值,则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里,f（x）无限止地忽0忽1．因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f（x）仍是一个函数．
?狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义．