行列式的几何意义

行列式的一个自然的源起是n维平行体的体积。行列式的定义和n维平行体的体积有着本质上的关联。 在一个二维平面上，两个向量X =(a, c)和X' =(b, d)的行列式是：
比如说，两个向量X =(2, 1)和X' =(3, 4)的行列式是：
·经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是向量X和X'形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：
·行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。
·如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将X逆时针“转到”X'处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如右图中，X和X'所构成的平行四边形的面积就是正的。
·行列式是一个双线性映射。也就是说， ，
并且 。
其几何意义是：以同一个向量v作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的向量u和u'加起来后的向量：u + u'和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。 在三维的有向空间中，三个三维向量的行列式是：

比如说，三个向量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是：
当系数是实数时，行列式表示X、X′和X″三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：
·行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。
·三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。比如右图中(u,v,w)所形成的平行六面体的体积是正的，而(u,w,v)所形成的平行六面体的体积是负的。这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中向量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积。
·这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指当生成两个平行六面体的每组三个向量中如果有两个是重合的，比如分别是：(u,v,w)和(u',v,w)，那么它们的体积之总和等于将u和u'加起来后的向量u + u'和v,w所形成的平行六面体的体积，如右图所示。 设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(x,y,z)被映射到向量(x',y',z')：
其中a、b、c是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。
更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。